证明:存在无穷多个自然数$n$,使得$n$不能表示为

$$a^2+p(a\in\bf{Z}^+)$$$p$是正素数.

 

证明:若除了有限几个自然数，其它的自然数都能表示成这种形式，则从某个正完全平方数$b_1^2$开始，接下来所有的完全平方数能表示成这种方式.令$b_1>1$,$b_1^2=a_1^2+p_1$,则$b_1^2-a_1^2=p_1$,即$p_1=(b_1+a_1)(b_1-a_1)$.则$b_1-a_1=1$.也就是说，$p_1=2a_1+1$.然后考虑$b_2^2=(b_1+1)^2$.则$p_2=2b_1+1=2a_1+3$. 考虑$b_3^2=(b_2+1)^2$,可得$p_3=2b_2+1=2b_1+3=2a_1+5$.……

于是，我们得

$$2a_1+1,2a_1+3,2a_1+5,2a_1+7,\cdots$$都是素数，而易證這顯然是不可能的.